{l}{k/L=100}{5k+50L=110} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) k, L változóra

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. A változó (L) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: L.

$$k=100L$$

Behelyettesítjük a(z) 100L értéket k helyére a másik, 5k+50L=110 egyenletben.

$$5\times 100L+50L=110$$

Összeszorozzuk a következőket: 5 és 100L.

$$500L+50L=110$$

Összeadjuk a következőket: 500L és 50L.

$$550L=110$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 550.

$$L=\frac{1}{5}$$

A(z) k=100L egyenletben behelyettesítjük L helyére a következőt: \frac{1}{5}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) k változóra.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 100 és \frac{1}{5}.

$$k=20$$

A rendszer megoldva.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. A változó (L) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: L.

$$k=100L$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 100L.

$$k-100L=0$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) k és L elemeket.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. A változó (L) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: L.

$$k=100L$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 100L.

$$k-100L=0$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

k és 5k egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 5, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Egyszerűsítünk.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

5k+50L=110 kivonása a következőből: 5k-500L=0: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Összeadjuk a következőket: 5k és -5k. 5k és -5k kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-500L-50L=-110$$

Összeadjuk a következőket: -500L és -50L.

$$-550L=-110$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -550.

$$L=\frac{1}{5}$$

A(z) 5k+50L=110 egyenletben behelyettesítjük L helyére a következőt: \frac{1}{5}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) k változóra.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Összeszorozzuk a következőket: 50 és \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$5k=100$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$k=20$$

A rendszer megoldva.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$