{c}{x-3=y}{4x=37+3y} megoldása

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=28$$

$$y=25$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$x-3-y=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$x-y=3$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3y.

$$4x-3y=37$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x-y=3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: y.

$$x=y+3$$

Behelyettesítjük a(z) y+3 értéket x helyére a másik, 4x-3y=37 egyenletben.

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és y+3.

$$4y+12-3y=37$$

Összeadjuk a következőket: 4y és -3y.

$$y+12=37$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 12.

$$y=25$$

A(z) x=y+3 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 25. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=25+3$$

Összeadjuk a következőket: 3 és 25.

$$x=28$$

A rendszer megoldva.

$$x=28,y=25$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$x-3-y=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$x-y=3$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3y.

$$4x-3y=37$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=28,y=25$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: y.

$$x-3-y=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$x-y=3$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3y.

$$4x-3y=37$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

x és 4x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 4, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

Egyszerűsítünk.

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

4x-3y=37 kivonása a következőből: 4x-4y=12: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

Összeadjuk a következőket: 4x és -4x. 4x és -4x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-4y+3y=12-37$$

Összeadjuk a következőket: -4y és 3y.

$$-y=12-37$$

Összeadjuk a következőket: 12 és -37.

$$-y=-25$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$y=25$$

A(z) 4x-3y=37 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 25. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$4x-3\times 25=37$$

Összeszorozzuk a következőket: -3 és 25.

$$4x-75=37$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 75.

$$4x=112$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=28$$

A rendszer megoldva.

$$x=28,y=25$$