{c}{x+y=9}{4x+5y=39} megoldása

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 9 } \\ { 4 x + 5 y = 39 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=6$$

$$y=3$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+y=9$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$x=-y+9$$

Behelyettesítjük a(z) -y+9 értéket x helyére a másik, 4x+5y=39 egyenletben.

$$4\left(-y+9\right)+5y=39$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -y+9.

$$-4y+36+5y=39$$

Összeadjuk a következőket: -4y és 5y.

$$y+36=39$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 36.

$$y=3$$

A(z) x=-y+9 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-3+9$$

Összeadjuk a következőket: 9 és -3.

$$x=6$$

A rendszer megoldva.

$$x=6,y=3$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4}&-\frac{1}{5-4}\\-\frac{4}{5-4}&\frac{1}{5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 9-39\\-4\times 9+39\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=6,y=3$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

x és 4x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 4, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$4x+4y=4\times 9,4x+5y=39$$

Egyszerűsítünk.

$$4x+4y=36,4x+5y=39$$

4x+5y=39 kivonása a következőből: 4x+4y=36: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$4x-4x+4y-5y=36-39$$

Összeadjuk a következőket: 4x és -4x. 4x és -4x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$4y-5y=36-39$$

Összeadjuk a következőket: 4y és -5y.

$$-y=36-39$$

Összeadjuk a következőket: 36 és -39.

$$-y=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$y=3$$

A(z) 4x+5y=39 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$4x+5\times 3=39$$

Összeszorozzuk a következőket: 5 és 3.

$$4x+15=39$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 15.

$$4x=24$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=6$$

A rendszer megoldva.

$$x=6,y=3$$