Megoldás a(z) x, y változóra
x=10
y=17
Grafikon
Megosztás
Átmásolva a vágólapra
x+y=27,0.25x+0.05y=3.35
Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.
x+y=27
Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.
x=-y+27
Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.
0.25\left(-y+27\right)+0.05y=3.35
Behelyettesítjük a(z) -y+27 értéket x helyére a másik, 0.25x+0.05y=3.35 egyenletben.
-0.25y+6.75+0.05y=3.35
Összeszorozzuk a következőket: 0.25 és -y+27.
-0.2y+6.75=3.35
Összeadjuk a következőket: -\frac{y}{4} és \frac{y}{20}.
-0.2y=-3.4
Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 6.75.
y=17
Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: -5.
x=-17+27
A(z) x=-y+27 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 17. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.
x=10
Összeadjuk a következőket: 27 és -17.
x=10,y=17
A rendszer megoldva.
x+y=27,0.25x+0.05y=3.35
Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.
\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)
Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)
Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right) inverz mátrixával.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)
Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)
Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)
Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)
Elvégezzük a számolást.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 27+5\times 3.35\\1.25\times 27-5\times 3.35\end{matrix}\right)
Összeszorozzuk a mátrixokat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)
Elvégezzük a számolást.
x=10,y=17
A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.
x+y=27,0.25x+0.05y=3.35
A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.
0.25x+0.25y=0.25\times 27,0.25x+0.05y=3.35
x és \frac{x}{4} egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 0.25, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.
0.25x+0.25y=6.75,0.25x+0.05y=3.35
Egyszerűsítünk.
0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=6.75-3.35
0.25x+0.05y=3.35 kivonása a következőből: 0.25x+0.25y=6.75: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.
0.25y-0.05y=6.75-3.35
Összeadjuk a következőket: \frac{x}{4} és -\frac{x}{4}. \frac{x}{4} és -\frac{x}{4} kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.
0.2y=6.75-3.35
Összeadjuk a következőket: \frac{y}{4} és -\frac{y}{20}.
0.2y=3.4
6.75 és -3.35 összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.
y=17
Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 5.
0.25x+0.05\times 17=3.35
A(z) 0.25x+0.05y=3.35 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 17. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.
0.25x+0.85=3.35
Összeszorozzuk a következőket: 0.05 és 17.
0.25x=2.5
Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 0.85.
x=10
Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 4.
x=10,y=17
A rendszer megoldva.
Példák
Másodfokú egyenlet
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometria
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineáris egyenlet
y = 3x + 4
Számtan
699 * 533
Mátrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Egyenletrendszer
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenciálszámítás
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integrálás
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Határértékek
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}