{c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35} megoldása

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+y=21$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$x=-y+21$$

Behelyettesítjük a(z) -y+21 értéket x helyére a másik, 0.25x+0.05y=3.35 egyenletben.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

Összeszorozzuk a következőket: 0.25 és -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{y}{4} és \frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.25.

$$-0.2y=-1.9$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: -5.

$$y=9.5$$

A(z) x=-y+21 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 9.5. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-9.5+21$$

Összeadjuk a következőket: 21 és -9.5.

$$x=11.5$$

A rendszer megoldva.

$$x=11.5,y=9.5$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=11.5,y=9.5$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

x és \frac{x}{4} egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 0.25, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

Egyszerűsítünk.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

0.25x+0.05y=3.35 kivonása a következőből: 0.25x+0.25y=5.25: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Összeadjuk a következőket: \frac{x}{4} és -\frac{x}{4}. \frac{x}{4} és -\frac{x}{4} kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Összeadjuk a következőket: \frac{y}{4} és -\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

5.25 és -3.35 összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$0.2y=1.9$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 5.

$$y=9.5$$

A(z) 0.25x+0.05y=3.35 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 9.5. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

Összeszorozzuk a következőket: 0.05 és 9.5. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$0.25x+0.475=3.35$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 0.475.

$$0.25x=2.875$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 4.

$$x=11.5$$

A rendszer megoldva.

$$x=11.5,y=9.5$$