{c}{x+3y=14}{4x-y=4} megoldása

$$\left. \begin{array} { c } { x + 3 y = 14 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=2$$

$$y=4$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+3y=14$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3y.

$$x=-3y+14$$

Behelyettesítjük a(z) -3y+14 értéket x helyére a másik, 4x-y=4 egyenletben.

$$4\left(-3y+14\right)-y=4$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -3y+14.

$$-12y+56-y=4$$

Összeadjuk a következőket: -12y és -y.

$$-13y+56=4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 56.

$$-13y=-52$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -13.

$$y=4$$

A(z) x=-3y+14 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 4. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-3\times 4+14$$

Összeszorozzuk a következőket: -3 és 4.

$$x=-12+14$$

Összeadjuk a következőket: 14 és -12.

$$x=2$$

A rendszer megoldva.

$$x=2,y=4$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 4\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=2,y=4$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

x és 4x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 4, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=4$$

Egyszerűsítünk.

$$4x+12y=56,4x-y=4$$

4x-y=4 kivonása a következőből: 4x+12y=56: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$4x-4x+12y+y=56-4$$

Összeadjuk a következőket: 4x és -4x. 4x és -4x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$12y+y=56-4$$

Összeadjuk a következőket: 12y és y.

$$13y=56-4$$

Összeadjuk a következőket: 56 és -4.

$$13y=52$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 13.

$$y=4$$

A(z) 4x-y=4 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 4. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$4x-4=4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$4x=8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=2$$

A rendszer megoldva.

$$x=2,y=4$$