{c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7} megoldása

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) a, b változóra

$$a=26$$

$$b=-38$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) a változót úgy, hogy a(z) a változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: b.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{3}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{2}{3} és -b+1.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-2b+2}{3} értéket a helyére a másik, a+\frac{1}{2}b=7 egyenletben.

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{2b}{3} és \frac{b}{2}.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{2}{3}.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: -6.

$$b=-38$$

A(z) a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3} egyenletben behelyettesítjük b helyére a következőt: -38. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) a változóra.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{2}{3} és -38.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

\frac{2}{3} és \frac{76}{3} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$a=26$$

A rendszer megoldva.

$$a=26,b=-38$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) a és b elemeket.

$$a=26,b=-38$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

\frac{3a}{2} és a egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: \frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} kivonása a következőből: \frac{3}{2}a+b=1: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Összeadjuk a következőket: \frac{3a}{2} és -\frac{3a}{2}. \frac{3a}{2} és -\frac{3a}{2} kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Összeadjuk a következőket: b és -\frac{3b}{4}.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és -\frac{21}{2}.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 4.

$$b=-38$$

A(z) a+\frac{1}{2}b=7 egyenletben behelyettesítjük b helyére a következőt: -38. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) a változóra.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -38.

$$a-19=7$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 19.

$$a=26$$

A rendszer megoldva.

$$a=26,b=-38$$