{l}{y-2x=4}{2x+3y=28} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Megoldás a(z) y, x változóra

$$x=2$$

$$y=8$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) y változót úgy, hogy a(z) y változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$y-2x=4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2x.

$$y=2x+4$$

Behelyettesítjük a(z) 4+2x értéket y helyére a másik, 3y+2x=28 egyenletben.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Összeadjuk a következőket: 6x és 2x.

$$8x+12=28$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 12.

$$8x=16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$x=2$$

A(z) y=2x+4 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y=2\times 2+4$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$y=4+4$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 4.

$$y=8$$

A rendszer megoldva.

$$y=8,x=2$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) y és x elemeket.

$$y=8,x=2$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

y és 3y egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 3, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Egyszerűsítünk.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

3y+2x=28 kivonása a következőből: 3y-6x=12: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Összeadjuk a következőket: 3y és -3y. 3y és -3y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-6x-2x=12-28$$

Összeadjuk a következőket: -6x és -2x.

$$-8x=12-28$$

Összeadjuk a következőket: 12 és -28.

$$-8x=-16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -8.

$$x=2$$

A(z) 3y+2x=28 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$3y+2\times 2=28$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$3y+4=28$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$3y=24$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$y=8$$

A rendszer megoldva.

$$y=8,x=2$$