{l}{y=-2x+2}{y=4x-4} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 2 } \\ { y = 4 x - 4 } \end{array} \right\}$$

Megoldás a(z) y, x változóra

$$x=1$$

$$y=0$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2x.

$$y+2x=2$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4x.

$$y-4x=-4$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) y változót úgy, hogy a(z) y változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$y+2x=2$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2x.

$$y=-2x+2$$

Behelyettesítjük a(z) -2x+2 értéket y helyére a másik, y-4x=-4 egyenletben.

$$-2x+2-4x=-4$$

Összeadjuk a következőket: -2x és -4x.

$$-6x+2=-4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$-6x=-6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -6.

$$x=1$$

A(z) y=-2x+2 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y=-2+2$$

Összeadjuk a következőket: 2 és -2.

$$y=0$$

A rendszer megoldva.

$$y=0,x=1$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2x.

$$y+2x=2$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4x.

$$y-4x=-4$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{6}\times 2-\frac{1}{6}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) y és x elemeket.

$$y=0,x=1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2x.

$$y+2x=2$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4x.

$$y-4x=-4$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

y-4x=-4 kivonása a következőből: y+2x=2: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$y-y+2x+4x=2+4$$

Összeadjuk a következőket: y és -y. y és -y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$2x+4x=2+4$$

Összeadjuk a következőket: 2x és 4x.

$$6x=2+4$$

Összeadjuk a következőket: 2 és 4.

$$6x=6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$x=1$$

A(z) y-4x=-4 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$y-4=-4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$y=0$$

A rendszer megoldva.

$$y=0,x=1$$