{l}{x=-y}{2x+y=5} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=5$$

$$y=-5$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: y.

$$x+y=0$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+y=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$x=-y$$

Behelyettesítjük a(z) -y értéket x helyére a másik, 2x+y=5 egyenletben.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -y.

$$-2y+y=5$$

Összeadjuk a következőket: -2y és y.

$$-y=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$y=-5$$

A(z) x=-y egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -5. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\left(-5\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: -1 és -5.

$$x=5$$

A rendszer megoldva.

$$x=5,y=-5$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: y.

$$x+y=0$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=5,y=-5$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: y.

$$x+y=0$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+y=0,2x+y=5$$

2x+y=5 kivonása a következőből: x+y=0: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$x-2x+y-y=-5$$

Összeadjuk a következőket: y és -y. y és -y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$x-2x=-5$$

Összeadjuk a következőket: x és -2x.

$$-x=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$x=5$$

A(z) 2x+y=5 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 5. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$2\times 5+y=5$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$10+y=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$y=-5$$

A rendszer megoldva.

$$x=5,y=-5$$