{l}{x+2y=60}{x-y=30} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=40$$

$$y=10$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+2y=60$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2y.

$$x=-2y+60$$

Behelyettesítjük a(z) -2y+60 értéket x helyére a másik, x-y=30 egyenletben.

$$-2y+60-y=30$$

Összeadjuk a következőket: -2y és -y.

$$-3y+60=30$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 60.

$$-3y=-30$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$y=10$$

A(z) x=-2y+60 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 10. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-2\times 10+60$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és 10.

$$x=-20+60$$

Összeadjuk a következőket: 60 és -20.

$$x=40$$

A rendszer megoldva.

$$x=40,y=10$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=40,y=10$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+2y=60,x-y=30$$

x-y=30 kivonása a következőből: x+2y=60: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$x-x+2y+y=60-30$$

Összeadjuk a következőket: x és -x. x és -x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$2y+y=60-30$$

Összeadjuk a következőket: 2y és y.

$$3y=60-30$$

Összeadjuk a következőket: 60 és -30.

$$3y=30$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$y=10$$

A(z) x-y=30 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 10. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x-10=30$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 10.

$$x=40$$

A rendszer megoldva.

$$x=40,y=10$$