{l}{2x-3y=5}{3x-2y=5} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=1$$

$$y=-1$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x-3y=5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3y.

$$2x=3y+5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{3y+5}{2} értéket x helyére a másik, 3x-2y=5 egyenletben.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-2y=5$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és \frac{3y+5}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}-2y=5$$

Összeadjuk a következőket: \frac{9y}{2} és -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{15}{2}.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{5}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=-1$$

A(z) x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{2} és -1.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

\frac{5}{2} és -\frac{3}{2} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=1$$

A rendszer megoldva.

$$x=1,y=-1$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=1,y=-1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

2x és 3x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 3, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5$$

Egyszerűsítünk.

$$6x-9y=15,6x-4y=10$$

6x-4y=10 kivonása a következőből: 6x-9y=15: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$6x-6x-9y+4y=15-10$$

Összeadjuk a következőket: 6x és -6x. 6x és -6x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-9y+4y=15-10$$

Összeadjuk a következőket: -9y és 4y.

$$-5y=15-10$$

Összeadjuk a következőket: 15 és -10.

$$-5y=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$y=-1$$

A(z) 3x-2y=5 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és -1.

$$3x+2=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$3x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x=1$$

A rendszer megoldva.

$$x=1,y=-1$$