{l}{2x-3y=15}{x+y=1} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y = -\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5} = -2.6$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x-3y=15$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3y.

$$2x=3y+15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és 15+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{15+3y}{2} értéket x helyére a másik, x+y=1 egyenletben.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=1$$

Összeadjuk a következőket: \frac{3y}{2} és y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{15}{2}.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{5}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=-\frac{13}{5}$$

A(z) x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{13}{5}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{13}{5}\right)+\frac{15}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{2} és -\frac{13}{5}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-\frac{39}{10}+\frac{15}{2}$$

\frac{15}{2} és -\frac{39}{10} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{18}{5}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

2x és x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$2x-3y=15,2x+2y=2$$

2x+2y=2 kivonása a következőből: 2x-3y=15: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$2x-2x-3y-2y=15-2$$

Összeadjuk a következőket: 2x és -2x. 2x és -2x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-3y-2y=15-2$$

Összeadjuk a következőket: -3y és -2y.

$$-5y=15-2$$

Összeadjuk a következőket: 15 és -2.

$$-5y=13$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$y=-\frac{13}{5}$$

A(z) x+y=1 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{13}{5}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x-\frac{13}{5}=1$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{13}{5}.

$$x=\frac{18}{5}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$