{l}{2x+y=6}{4x-y=7} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x+y=6$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$2x=-y+6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Behelyettesítjük a(z) -\frac{y}{2}+3 értéket x helyére a másik, 4x-y=7 egyenletben.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -\frac{y}{2}+3.

$$-2y+12-y=7$$

Összeadjuk a következőket: -2y és -y.

$$-3y+12=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 12.

$$-3y=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$y=\frac{5}{3}$$

A(z) x=-\frac{1}{2}y+3 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{5}{3}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{2} és \frac{5}{3}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

Összeadjuk a következőket: 3 és -\frac{5}{6}.

$$x=\frac{13}{6}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

2x és 4x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 4, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Egyszerűsítünk.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

8x-2y=14 kivonása a következőből: 8x+4y=24: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

Összeadjuk a következőket: 8x és -8x. 8x és -8x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$4y+2y=24-14$$

Összeadjuk a következőket: 4y és 2y.

$$6y=24-14$$

Összeadjuk a következőket: 24 és -14.

$$6y=10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$y=\frac{5}{3}$$

A(z) 4x-y=7 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{5}{3}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{3}.

$$4x=\frac{26}{3}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{13}{6}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$