{l}{2x+y=3}{x-y=1} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x+y=3$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$2x=-y+3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-y+3}{2} értéket x helyére a másik, x-y=1 egyenletben.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=1$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{y}{2} és -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: -\frac{3}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=\frac{1}{3}$$

A(z) x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{1}{3}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{2} és \frac{1}{3}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}$$

\frac{3}{2} és -\frac{1}{6} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{4}{3}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x+y=3,x-y=1$$

2x és x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$2x+y=3,2x+2\left(-1\right)y=2$$

Egyszerűsítünk.

$$2x+y=3,2x-2y=2$$

2x-2y=2 kivonása a következőből: 2x+y=3: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$2x-2x+y+2y=3-2$$

Összeadjuk a következőket: 2x és -2x. 2x és -2x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$y+2y=3-2$$

Összeadjuk a következőket: y és 2y.

$$3y=3-2$$

Összeadjuk a következőket: 3 és -2.

$$3y=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

A(z) x-y=1 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{1}{3}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x-\frac{1}{3}=1$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{3}.

$$x=\frac{4}{3}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$