{l}{2x+y=3}{x+y=5} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=-2$$

$$y=7$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x+y=3$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$2x=-y+3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-y+3}{2} értéket x helyére a másik, x+y=5 egyenletben.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{y}{2} és y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 2.

$$y=7$$

A(z) x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 7. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{2} és 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

\frac{3}{2} és -\frac{7}{2} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=-2$$

A rendszer megoldva.

$$x=-2,y=7$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=-2,y=7$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x+y=3,x+y=5$$

x+y=5 kivonása a következőből: 2x+y=3: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Összeadjuk a következőket: y és -y. y és -y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$2x-x=3-5$$

Összeadjuk a következőket: 2x és -x.

$$x=3-5$$

Összeadjuk a következőket: 3 és -5.

$$x=-2$$

A(z) x+y=5 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: -2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$-2+y=5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$y=7$$

A rendszer megoldva.

$$x=-2,y=7$$