{l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x+4y=2060$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4y.

$$2x=-4y+2060$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Behelyettesítjük a(z) -2y+1030 értéket x helyére a másik, 5x+7y=1640 egyenletben.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Összeszorozzuk a következőket: 5 és -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Összeadjuk a következőket: -10y és 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5150.

$$-3y=-3510$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$y=1170$$

A(z) x=-2y+1030 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 1170. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és 1170.

$$x=-2340+1030$$

Összeadjuk a következőket: 1030 és -2340.

$$x=-1310$$

A rendszer megoldva.

$$x=-1310,y=1170$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=-1310,y=1170$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

2x és 5x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 5, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Egyszerűsítünk.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

10x+14y=3280 kivonása a következőből: 10x+20y=10300: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Összeadjuk a következőket: 10x és -10x. 10x és -10x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$20y-14y=10300-3280$$

Összeadjuk a következőket: 20y és -14y.

$$6y=10300-3280$$

Összeadjuk a következőket: 10300 és -3280.

$$6y=7020$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$y=1170$$

A(z) 5x+7y=1640 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 1170. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Összeszorozzuk a következőket: 7 és 1170.

$$5x+8190=1640$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 8190.

$$5x=-6550$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$x=-1310$$

A rendszer megoldva.

$$x=-1310,y=1170$$