{l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2ax+by=14$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: by.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2a} és -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-by+14}{2a} értéket x helyére a másik, -2x+9y=-19 egyenletben.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Összeadjuk a következőket: \frac{by}{a} és 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{14}{a}.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

A(z) x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{14-19a}{9a+b}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{b}{2a} és \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Összeadjuk a következőket: \frac{7}{a} és -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax és -2x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: -2, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

\left(-4a\right)x+18ay=-38a kivonása a következőből: \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Összeadjuk a következőket: -4ax és 4ax. -4ax és 4ax kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Összeadjuk a következőket: -2by és -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Összeadjuk a következőket: -28 és 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

A(z) -2x+9y=-19 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{-14+19a}{b+9a}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Összeszorozzuk a következőket: 9 és -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a}.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2ax+by=14$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: by.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2a} és -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-by+14}{2a} értéket x helyére a másik, -2x+9y=-19 egyenletben.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Összeadjuk a következőket: \frac{by}{a} és 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{14}{a}.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

A(z) x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{14-19a}{9a+b}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{b}{2a} és \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Összeadjuk a következőket: \frac{7}{a} és -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax és -2x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: -2, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

\left(-4a\right)x+18ay=-38a kivonása a következőből: \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Összeadjuk a következőket: -4ax és 4ax. -4ax és 4ax kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Összeadjuk a következőket: -2by és -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Összeadjuk a következőket: -28 és 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

A(z) -2x+9y=-19 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{-14+19a}{b+9a}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Összeszorozzuk a következőket: 9 és -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a}.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$