{c}{x+y=5}{-3x+y=-3} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 5 } \\ { - 3 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=2$$

$$y=3$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+y=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.

$$x=-y+5$$

Behelyettesítjük a(z) -y+5 értéket x helyére a másik, -3x+y=-3 egyenletben.

$$-3\left(-y+5\right)+y=-3$$

Összeszorozzuk a következőket: -3 és -y+5.

$$3y-15+y=-3$$

Összeadjuk a következőket: 3y és y.

$$4y-15=-3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$4y=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$y=3$$

A(z) x=-y+5 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 3. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-3+5$$

Összeadjuk a következőket: 5 és -3.

$$x=2$$

A rendszer megoldva.

$$x=2,y=3$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=2,y=3$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

-3x+y=-3 kivonása a következőből: x+y=5: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$x+3x+y-y=5+3$$

Összeadjuk a következőket: y és -y. y és -y kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$x+3x=5+3$$

Összeadjuk a következőket: x és 3x.

$$4x=5+3$$

Összeadjuk a következőket: 5 és 3.

$$4x=8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=2$$

A(z) -3x+y=-3 egyenletben behelyettesítjük x helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) y változóra.

$$-3\times 2+y=-3$$

Összeszorozzuk a következőket: -3 és 2.

$$-6+y=-3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 6.

$$y=3$$

A rendszer megoldva.

$$x=2,y=3$$