{c}{2x-y=4}{4x+3y=3} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = 4 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$2x-y=4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: y.

$$2x=y+4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{y}{2}+2 értéket x helyére a másik, 4x+3y=3 egyenletben.

$$4\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=3$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és \frac{y}{2}+2.

$$2y+8+3y=3$$

Összeadjuk a következőket: 2y és 3y.

$$5y+8=3$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 8.

$$5y=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$y=-1$$

A(z) x=\frac{1}{2}y+2 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Összeadjuk a következőket: 2 és -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 3\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

2x és 4x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 4, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4,2\times 4x+2\times 3y=2\times 3$$

Egyszerűsítünk.

$$8x-4y=16,8x+6y=6$$

8x+6y=6 kivonása a következőből: 8x-4y=16: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$8x-8x-4y-6y=16-6$$

Összeadjuk a következőket: 8x és -8x. 8x és -8x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-4y-6y=16-6$$

Összeadjuk a következőket: -4y és -6y.

$$-10y=16-6$$

Összeadjuk a következőket: 16 és -6.

$$-10y=10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -10.

$$y=-1$$

A(z) 4x+3y=3 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$4x+3\left(-1\right)=3$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és -1.

$$4x-3=3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$4x=6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$