lambda^3-27lambda^2+243lambda-729=0 megoldása

$$\lambda ^ { 3 } - 27 \lambda ^ { 2 } + 243 \lambda - 729 = 0$$

Megoldás a(z) λ változóra

$$\lambda =9$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -729 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±729,±243,±81,±27,±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$\lambda =9$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) \lambda -k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) \lambda ^{3}-27\lambda ^{2}+243\lambda -729 értéket a(z) \lambda -9 értékkel. Az eredmény \lambda ^{2}-18\lambda +81. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$\lambda ^{2}-18\lambda +81=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -18 értéket b-be és a(z) 81 értéket c-be a megoldóképletben.

$$\lambda =\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 1\times 81}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$\lambda =\frac{18±0}{2}$$

Azonosak a megoldások.

$$\lambda =9$$