∫ (from -1 to 3) of x(x-1)(x+2) wrt x megoldása

$$\int_{ -1 }^{ 3 } x(x-1)(x+2) d x$$

Kiértékelés

$$\frac{64}{3}\approx 21,333333333$$

A megoldás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x-1.

$$\int _{-1}^{3}\left(x^{2}-x\right)\left(x+2\right)\mathrm{d}x$$

Felhasználjuk a disztributivitást úgy, hogy a kifejezés (x^{2}-x) minden tagját megszorozzuk a másik kifejezés (x+2) minden tagjával.

$$\int _{-1}^{3}x^{3}+2x^{2}-x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

Összevonjuk a következőket: 2x^{2} és -x^{2}. Az eredmény x^{2}.

$$\int _{-1}^{3}x^{3}+x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

Először a határozatlan integrál kiértékelése

$$\int x^{3}+x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

Mivel k\neq -1 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, cserélje le a \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

Mivel k\neq -1 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, cserélje le a \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x$$

Mivel k\neq -1 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, cserélje le a \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Összeszorozzuk a következőket: -2 és \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-x^{2}$$

A határozott integrál értéke a kifejezés primitív függvényének helyettesítési értéke az integrálás felső határán mínusz a primitív függvény helyettesítési értéke az integrálás alsó határán.

$$\frac{3^{4}}{4}+\frac{3^{3}}{3}-3^{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}+\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}-\left(-1\right)^{2}\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{64}{3}$$