∫ (from 0 to e) of (2x^2-x+1) wrt x megoldása

$$\int _ { 0 } ^ { e } ( 2 x ^ { 2 } - x + 1 ) d x$$

Kiértékelés

$$\frac{2e^{3}}{3}-\frac{e^{2}}{2}+e\approx 12,414111728$$

A megoldás lépései

Először a határozatlan integrál kiértékelése

$$\int 2x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$2\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Összeszorozzuk a következőket: -1 és \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

A 1 az általános integrálások táblájában használt táblázat használatával megkeresheti a \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

A határozott integrál értéke a kifejezés primitív függvényének helyettesítési értéke az integrálás felső határán mínusz a primitív függvény helyettesítési értéke az integrálás alsó határán.

$$\frac{2}{3}e^{3}-\frac{e^{2}}{2}+e-\left(\frac{2}{3}\times 0^{3}-\frac{0^{2}}{2}+0\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{2e^{3}}{3}-\frac{e^{2}}{2}+e$$