∫ (from 0 to 2) of (4x-x^3)^2 wrt x megoldása

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( 4 x - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } d x$$

Kiértékelés

$$\frac{1024}{105}\approx 9,752380952$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(4x-x^{3}\right)^{2}).

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8xx^{3}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy összeadjuk a kitevőiket. 1 és 3 összege 4.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8x^{4}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 3 és 2 szorzata 6.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Először a határozatlan integrál kiértékelése

$$\int 16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Összeszorozzuk a következőket: 16 és \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{4}\mathrm{d}x \frac{x^{5}}{5}. Összeszorozzuk a következőket: -8 és \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{6}\mathrm{d}x \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

A határozott integrál értéke a kifejezés primitív függvényének helyettesítési értéke az integrálás felső határán mínusz a primitív függvény helyettesítési értéke az integrálás alsó határán.

$$\frac{2^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 2^{5}+\frac{16}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{0^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 0^{5}+\frac{16}{3}\times 0^{3}\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{1024}{105}$$