∫ (from 0 to 2 pi) of operatorname{arctanh}(x) wrt x megoldása

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \operatorname { arctanh } ( x ) d x$$

Kiértékelés

$$2\pi ^{2}\arctan(h)$$

A megoldás lépései

Először a határozatlan integrál kiértékelése

$$\int \arctan(h)x\mathrm{d}x$$

Az állandó kiemelése a(z) \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x használatával

$$\arctan(h)\int x\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$\arctan(h)\times \frac{x^{2}}{2}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{\arctan(h)x^{2}}{2}$$

A határozott integrál értéke a kifejezés primitív függvényének helyettesítési értéke az integrálás felső határán mínusz a primitív függvény helyettesítési értéke az integrálás alsó határán.

$$\frac{1}{2}\arctan(h)\times \left(2\pi \right)^{2}-\frac{1}{2}\arctan(h)\times 0^{2}$$

Egyszerűsítünk.

$$2\arctan(h)\pi ^{2}$$

Differenciálás h szerint

$$\frac{2\pi ^{2}}{h^{2}+1}$$