∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr megoldása

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

Kiértékelés

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

A megoldás lépései

Először a határozatlan integrál kiértékelése

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Mivel \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int r\mathrm{d}r \frac{r^{2}}{2}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Mivel \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int r^{2}\mathrm{d}r \frac{r^{3}}{3}. Összeszorozzuk a következőket: -1 és \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

A határozott integrál értéke a kifejezés primitív függvényének helyettesítési értéke az integrálás felső határán mínusz a primitív függvény helyettesítési értéke az integrálás alsó határán.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

Differenciálás x szerint

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$