∫ (from 0 to 1) of sqrt{x}-x^2 megoldása

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { x } - x ^ { 2 }$$

Kiértékelés

$$\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

A megoldás lépései

Először a határozatlan integrál kiértékelése

$$\int \sqrt{x}-x^{2}\mathrm{d}x$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Átírjuk az értéket (\sqrt{x}) x^{\frac{1}{2}} alakban. Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Egyszerűsítünk.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Összeszorozzuk a következőket: -1 és \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}-x^{3}}{3}$$

A határozott integrál értéke a kifejezés primitív függvényének helyettesítési értéke az integrálás felső határán mínusz a primitív függvény helyettesítési értéke az integrálás alsó határán.

$$\frac{2}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{2}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{1}{3}$$