∫ (from - 1 to 1) of t(1-t)^2dt megoldása

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } t ( 1 - t ) ^ { 2 } d t$$

Kiértékelés

$$-\frac{4}{3}\approx -1,333333333$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(1-t\right)^{2}).

$$\int _{-1}^{1}t\left(1-2t+t^{2}\right)\mathrm{d}t$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: t és 1-2t+t^{2}.

$$\int _{-1}^{1}t-2t^{2}+t^{3}\mathrm{d}t$$

Először a határozatlan integrál kiértékelése

$$\int t-2t^{2}+t^{3}\mathrm{d}t$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int t\mathrm{d}t+\int -2t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$\int t\mathrm{d}t-2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Mivel \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int t\mathrm{d}t \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{2}}{2}-2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Mivel \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int t^{2}\mathrm{d}t \frac{t^{3}}{3}. Összeszorozzuk a következőket: -2 és \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{2}}{2}-\frac{2t^{3}}{3}+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Mivel \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int t^{3}\mathrm{d}t \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{t^{2}}{2}-\frac{2t^{3}}{3}+\frac{t^{4}}{4}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{t^{4}}{4}-\frac{2t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}$$

A határozott integrál értéke a kifejezés primitív függvényének helyettesítési értéke az integrálás felső határán mínusz a primitív függvény helyettesítési értéke az integrálás alsó határán.

$$\frac{1^{4}}{4}-\frac{2}{3}\times 1^{3}+\frac{1^{2}}{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}-\frac{2}{3}\left(-1\right)^{3}+\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$-\frac{4}{3}$$