∫ 5v(v^2+2)^2dv megoldása

$$\int 5 v ( v ^ { 2 } + 2 ) ^ { 2 } d v$$

Kiértékelés

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}+С$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(v^{2}+2\right)^{2}).

$$\int 5v\left(\left(v^{2}\right)^{2}+4v^{2}+4\right)\mathrm{d}v$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$\int 5v\left(v^{4}+4v^{2}+4\right)\mathrm{d}v$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5v és v^{4}+4v^{2}+4.

$$\int 5v^{5}+20v^{3}+20v\mathrm{d}v$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int 5v^{5}\mathrm{d}v+\int 20v^{3}\mathrm{d}v+\int 20v\mathrm{d}v$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$5\int v^{5}\mathrm{d}v+20\int v^{3}\mathrm{d}v+20\int v\mathrm{d}v$$

Mivel \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int v^{5}\mathrm{d}v \frac{v^{6}}{6}. Összeszorozzuk a következőket: 5 és \frac{v^{6}}{6}.

$$\frac{5v^{6}}{6}+20\int v^{3}\mathrm{d}v+20\int v\mathrm{d}v$$

Mivel \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int v^{3}\mathrm{d}v \frac{v^{4}}{4}. Összeszorozzuk a következőket: 20 és \frac{v^{4}}{4}.

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+20\int v\mathrm{d}v$$

Mivel \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int v\mathrm{d}v \frac{v^{2}}{2}. Összeszorozzuk a következőket: 20 és \frac{v^{2}}{2}.

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}$$

Ha F\left(v\right) egy f\left(v\right), akkor a f\left(v\right) összes antiderivatives készlete F\left(v\right)+C. Ezért adja hozzá az integráció állandót C\in \mathrm{R} az eredménybe.

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}+С$$

Differenciálás v szerint

$$5v\left(v^{2}+2\right)^{2}$$