∫ (x^2+2)^3 megoldása

$$\int ( x ^ { 2 } + 2 ) ^ { 3 }$$

Kiértékelés

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}+4x^{3}+8x+С$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x^{2}+2\right)^{3}).

$$\int \left(x^{2}\right)^{3}+6\left(x^{2}\right)^{2}+12x^{2}+8\mathrm{d}x$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 3 szorzata 6.

$$\int x^{6}+6\left(x^{2}\right)^{2}+12x^{2}+8\mathrm{d}x$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$\int x^{6}+6x^{4}+12x^{2}+8\mathrm{d}x$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 6x^{4}\mathrm{d}x+\int 12x^{2}\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$\int x^{6}\mathrm{d}x+6\int x^{4}\mathrm{d}x+12\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{6}\mathrm{d}x \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{x^{7}}{7}+6\int x^{4}\mathrm{d}x+12\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{4}\mathrm{d}x \frac{x^{5}}{5}. Összeszorozzuk a következőket: 6 és \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}+12\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Összeszorozzuk a következőket: 12 és \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}+4x^{3}+\int 8\mathrm{d}x$$

A 8 az általános integrálások táblájában használt táblázat használatával megkeresheti a \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}+4x^{3}+8x$$

Egyszerűsítünk.

$$8x+4x^{3}+\frac{6x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

Ha F\left(x\right) egy f\left(x\right), akkor a f\left(x\right) összes antiderivatives készlete F\left(x\right)+C. Ezért adja hozzá az integráció állandót C\in \mathrm{R} az eredménybe.

$$8x+4x^{3}+\frac{6x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}+С$$

Differenciálás x szerint

$$\left(x^{2}+2\right)^{3}$$