∫ x^4+x^2+1/x^2+x+1 wrt x megoldása

$$\int \frac { x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x$$

Kiértékelés

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x+С$$

A megoldás lépései

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}+x+1}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\int \frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}{x^{2}+x+1}\mathrm{d}x$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: x^{2}+x+1.

$$\int x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Összeszorozzuk a következőket: -1 és \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

A 1 az általános integrálások táblájában használt táblázat használatával megkeresheti a \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Ha F\left(x\right) egy f\left(x\right), akkor a f\left(x\right) összes antiderivatives készlete F\left(x\right)+C. Ezért adja hozzá az integráció állandót C\in \mathrm{R} az eredménybe.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Differenciálás x szerint

$$x^{2}-x+1$$