∫ [a^2-5a+6/a^2+7a+6:(2a+10/a+1-a-1)+1/a+3]*2a^2+5a-3/2a^2 megoldása

$$\int [ \frac { a ^ { 2 } - 5 a + 6 } { a ^ { 2 } + 7 a + 6 } : ( \frac { 2 a + 10 } { a + 1 } - a - 1 ) + \frac { 1 } { a + 3 } ] \cdot \frac { 2 a ^ { 2 } + 5 a - 3 } { 2 a ^ { 2 } }$$

Kiértékelés

$$\frac{8ax-4x}{\left(a+6\right)a^{2}}+С$$

A megoldás lépései

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: -a-1 és \frac{a+1}{a+1}.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10}{a+1}+\frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Mivel \frac{2a+10}{a+1} és \frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Elvégezzük a képletben (2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)) szereplő szorzásokat.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10-a^{2}-a-a-1}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Összevonjuk a kifejezésben (2a+10-a^{2}-a-a-1) szereplő egynemű tagokat.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{9-a^{2}}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} elosztása a következővel: \frac{9-a^{2}}{a+1}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} értéket megszorozzuk a(z) \frac{9-a^{2}}{a+1} reciprokával.

$$\int \left(\frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\int \left(\frac{\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a+1\right)}{\left(a-3\right)\left(-a-3\right)\left(a+1\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: \left(a-3\right)\left(a+1\right).

$$\int \left(\frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(-a-3\right)\left(a+6\right) és a+3 legkisebb közös többszöröse \left(a+3\right)\left(a+6\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)} és \frac{-1}{-1}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{a+3} és \frac{a+6}{a+6}.

$$\int \left(\frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}+\frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Mivel \frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} és \frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\int \frac{-\left(a-2\right)+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Elvégezzük a képletben (-\left(a-2\right)+a+6) szereplő szorzásokat.

$$\int \frac{-a+2+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Összevonjuk a kifejezésben (-a+2+a+6) szereplő egynemű tagokat.

$$\int \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} és \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel.

$$\int \frac{8\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)\times 2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: 2.

$$\int \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: a+3.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4 és 2a-1.

$$\int \frac{8a-4}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: a+6 és a^{2}.

$$\int \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}\mathrm{d}x$$

A \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}} az általános integrálások táblájában használt táblázat használatával megkeresheti a \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}x$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}$$

Ha F\left(x\right) egy f\left(x\right), akkor a f\left(x\right) összes antiderivatives készlete F\left(x\right)+C. Ezért adja hozzá az integráció állandót C\in \mathrm{R} az eredménybe.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}+С$$

Differenciálás x szerint

$$\frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}$$