x-1/2x+1=2x+1/x-1+3 megoldása

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -\frac{1}{2},1. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 2x+1,x-1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-1\right)\left(2x+1\right).

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Összeszorozzuk a következőket: x-1 és x-1. Az eredmény \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Összeszorozzuk a következőket: 2x+1 és 2x+1. Az eredmény \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-1\right)^{2}).

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x+1\right)^{2}).

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-1 és 2x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x^{2}-x-1 és 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és 6x^{2}. Az eredmény 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Összevonjuk a következőket: 4x és -3x. Az eredmény x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Kivonjuk a(z) 3 értékből a(z) 1 értéket. Az eredmény -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -10x^{2}. Az eredmény -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Összevonjuk a következőket: -2x és -x. Az eredmény -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 2. Az eredmény 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -9 értéket a-ba, a(z) -3 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 36 és 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

-3 ellentettje 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 3 és 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

3+3\sqrt{13} elosztása a következővel: -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}). ± előjele negatív. 3\sqrt{13} kivonása a következőből: 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

3-3\sqrt{13} elosztása a következővel: -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -\frac{1}{2},1. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 2x+1,x-1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-1\right)\left(2x+1\right).

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Összeszorozzuk a következőket: x-1 és x-1. Az eredmény \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Összeszorozzuk a következőket: 2x+1 és 2x+1. Az eredmény \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-1\right)^{2}).

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x+1\right)^{2}).

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-1 és 2x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x^{2}-x-1 és 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és 6x^{2}. Az eredmény 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Összevonjuk a következőket: 4x és -3x. Az eredmény x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Kivonjuk a(z) 3 értékből a(z) 1 értéket. Az eredmény -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -10x^{2}. Az eredmény -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Összevonjuk a következőket: -2x és -x. Az eredmény -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) -2 értéket. Az eredmény -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

A(z) -9 értékkel való osztás eltünteti a(z) -9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

A törtet (\frac{-3}{-9}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

A törtet (\frac{-3}{-9}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{6}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

\frac{1}{3} és \frac{1}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

A(z) x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{6}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$