x+1/x^2+1-1/2=0 megoldása

$$\frac{ x+1 }{ { x }^{ 2 } +1 } - \frac{ 1 }{ 2 } =0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x^{2}+1,2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 2\left(x^{2}+1\right).

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -\frac{1}{2}. Az eredmény -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

x^{2}+1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 2 értéket. Az eredmény 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+2x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{-2}$$

-2+2\sqrt{2} elosztása a következővel: -2.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{2} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{-2}$$

-2-2\sqrt{2} elosztása a következővel: -2.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x^{2}+1,2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 2\left(x^{2}+1\right).

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -\frac{1}{2}. Az eredmény -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

x^{2}+1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 2 értéket. Az eredmény 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$2x-x^{2}=-1$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+2x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

2 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{-1}$$

-1 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-2x=1$$

Elosztjuk a(z) -2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -1. Ezután hozzáadjuk -1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 1.

$$x^{2}-2x+1=2$$

Tényezőkre x^{2}-2x+1. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$