70/x+35+70/x-35=40 megoldása

$$\frac{ 70 }{ x+35 } + \frac{ 70 }{ x-35 } =40$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{7 \sqrt{401} + 7}{4} \approx 36,79372269$$

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}\approx -33,29372269$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -35,35. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x+35,x-35 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-35\right)\left(x+35\right).

$$\left(x-35\right)\times 70+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-35 és 70.

$$70x-2450+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x+35 és 70.

$$70x-2450+70x+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Összevonjuk a következőket: 70x és 70x. Az eredmény 140x.

$$140x-2450+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Összeadjuk a következőket: -2450 és 2450. Az eredmény 0.

$$140x=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 40 és x-35.

$$140x=\left(40x-1400\right)\left(x+35\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (40x-1400 és x+35), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$140x=40x^{2}-49000$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 40x^{2}.

$$140x-40x^{2}=-49000$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 49000.

$$140x-40x^{2}+49000=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-40x^{2}+140x+49000=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -40 értéket a-ba, a(z) 140 értéket b-be és a(z) 49000 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-140±\sqrt{140^{2}-4\left(-40\right)\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 140.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-4\left(-40\right)\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -40.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+160\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 160 és 49000.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+7840000}}{2\left(-40\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 19600 és 7840000.

$$x=\frac{-140±\sqrt{7859600}}{2\left(-40\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 7859600.

$$x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{2\left(-40\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -40.

$$x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -140 és 140\sqrt{401}.

$$x=\frac{140\sqrt{401}-140}{-80}$$

-140+140\sqrt{401} elosztása a következővel: -80.

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}). ± előjele negatív. 140\sqrt{401} kivonása a következőből: -140.

$$x=\frac{-140\sqrt{401}-140}{-80}$$

-140-140\sqrt{401} elosztása a következővel: -80.

$$x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4} x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -35,35. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x+35,x-35 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-35\right)\left(x+35\right).

$$\left(x-35\right)\times 70+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-35 és 70.

$$70x-2450+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x+35 és 70.

$$70x-2450+70x+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Összevonjuk a következőket: 70x és 70x. Az eredmény 140x.

$$140x-2450+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Összeadjuk a következőket: -2450 és 2450. Az eredmény 0.

$$140x=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 40 és x-35.

$$140x=\left(40x-1400\right)\left(x+35\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (40x-1400 és x+35), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$140x=40x^{2}-49000$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 40x^{2}.

$$140x-40x^{2}=-49000$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-40x^{2}+140x=-49000$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -40.

$$\frac{-40x^{2}+140x}{-40}=-\frac{49000}{-40}$$

A(z) -40 értékkel való osztás eltünteti a(z) -40 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{140}{-40}x=-\frac{49000}{-40}$$

A törtet (\frac{140}{-40}) leegyszerűsítjük 20 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{49000}{-40}$$

-49000 elosztása a következővel: -40.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=1225$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=1225+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=1225+\frac{49}{16}$$

Összeadjuk a következőket: 1225 és \frac{49}{16}.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{19649}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{19649}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19649}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{7\sqrt{401}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{7\sqrt{401}}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{4}.

$$x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4} x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}$$