3/x-3-7/5x-1 megoldása

$$\frac{ 3 }{ x-3 } - \frac{ 7 }{ 5x-1 }$$

Kiértékelés

$$\frac{2\left(4x+9\right)}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)}$$

A gyors megoldás lépései

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. x-3 és 5x-1 legkisebb közös többszöröse \left(x-3\right)\left(5x-1\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{x-3} és \frac{5x-1}{5x-1}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{7}{5x-1} és \frac{x-3}{x-3}.

$$\frac{3\left(5x-1\right)}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)}-\frac{7\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)}$$

Mivel \frac{3\left(5x-1\right)}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)} és \frac{7\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{3\left(5x-1\right)-7\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)}$$

Elvégezzük a képletben (3\left(5x-1\right)-7\left(x-3\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{15x-3-7x+21}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)}$$

Összevonjuk a kifejezésben (15x-3-7x+21) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{8x+18}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)}$$

Kifejtjük a következőt: \left(x-3\right)\left(5x-1\right).

$$\frac{8x+18}{5x^{2}-16x+3}$$

Differenciálás x szerint

$$\frac{4\left(78-45x-10x^{2}\right)}{25x^{4}-160x^{3}+286x^{2}-96x+9}$$

Lépések a hányados deriváltjára vonatkozó szabály használatával

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. x-3 és 5x-1 legkisebb közös többszöröse \left(x-3\right)\left(5x-1\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{x-3} és \frac{5x-1}{5x-1}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{7}{5x-1} és \frac{x-3}{x-3}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(5x-1\right)}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)}-\frac{7\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)})$$

Mivel \frac{3\left(5x-1\right)}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)} és \frac{7\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(5x-1\right)-7\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)})$$

Elvégezzük a képletben (3\left(5x-1\right)-7\left(x-3\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{15x-3-7x+21}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)})$$

Összevonjuk a kifejezésben (15x-3-7x+21) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8x+18}{\left(x-3\right)\left(5x-1\right)})$$

Felhasználjuk a disztributivitást úgy, hogy a kifejezés (x-3) minden tagját megszorozzuk a másik kifejezés (5x-1) minden tagjával.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8x+18}{5x^{2}-x-15x+3})$$

Összevonjuk a következőket: -x és -15x. Az eredmény -16x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{8x+18}{5x^{2}-16x+3})$$

Bármely két differenciálható függvény esetén a két függvény hányadosának deriváltja egyenlő a nevező szorozva a számláló deriváltjával mínusz a számláló szorozva a nevező deriváltjával, majd ez az eredmény osztva a nevező négyzetével.

$$\frac{\left(5x^{2}-16x^{1}+3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(8x^{1}+18)-\left(8x^{1}+18\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(5x^{2}-16x^{1}+3)}{\left(5x^{2}-16x^{1}+3\right)^{2}}$$

Egy polinom deriváltja a tagok deriváltjainak összege. Bármely konstans tag deriváltja 0. ax^{n} deriváltja nax^{n-1}.

$$\frac{\left(5x^{2}-16x^{1}+3\right)\times 8x^{1-1}-\left(8x^{1}+18\right)\left(2\times 5x^{2-1}-16x^{1-1}\right)}{\left(5x^{2}-16x^{1}+3\right)^{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{\left(5x^{2}-16x^{1}+3\right)\times 8x^{0}-\left(8x^{1}+18\right)\left(10x^{1}-16x^{0}\right)}{\left(5x^{2}-16x^{1}+3\right)^{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: 5x^{2}-16x^{1}+3 és 8x^{0}.

$$\frac{5x^{2}\times 8x^{0}-16x^{1}\times 8x^{0}+3\times 8x^{0}-\left(8x^{1}+18\right)\left(10x^{1}-16x^{0}\right)}{\left(5x^{2}-16x^{1}+3\right)^{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: 8x^{1}+18 és 10x^{1}-16x^{0}.

$$\frac{5x^{2}\times 8x^{0}-16x^{1}\times 8x^{0}+3\times 8x^{0}-\left(8x^{1}\times 10x^{1}+8x^{1}\left(-16\right)x^{0}+18\times 10x^{1}+18\left(-16\right)x^{0}\right)}{\left(5x^{2}-16x^{1}+3\right)^{2}}$$

Azonos alapú hatványok szorzásához összeadjuk a kitevőjüket.

$$\frac{5\times 8x^{2}-16\times 8x^{1}+3\times 8x^{0}-\left(8\times 10x^{1+1}+8\left(-16\right)x^{1}+18\times 10x^{1}+18\left(-16\right)x^{0}\right)}{\left(5x^{2}-16x^{1}+3\right)^{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{40x^{2}-128x^{1}+24x^{0}-\left(80x^{2}-128x^{1}+180x^{1}-288x^{0}\right)}{\left(5x^{2}-16x^{1}+3\right)^{2}}$$

Összevonjuk az egynemű kifejezéseket.

$$\frac{-40x^{2}-180x^{1}+312x^{0}}{\left(5x^{2}-16x^{1}+3\right)^{2}}$$

Minden t tagra, t^{1}=t.

$$\frac{-40x^{2}-180x+312x^{0}}{\left(5x^{2}-16x+3\right)^{2}}$$

Az 0 kivételével minden t tagra, t^{0}=1.

$$\frac{-40x^{2}-180x+312\times 1}{\left(5x^{2}-16x+3\right)^{2}}$$

Minden t tagra, t\times 1=t és 1t=t.

$$\frac{-40x^{2}-180x+312}{\left(5x^{2}-16x+3\right)^{2}}$$