3/1+x-2x^2+x/x-1 megoldása

$$\frac{ 3 }{ 1+x-2 { x }^{ 2 } } + \frac{ x }{ x-1 }$$

Kiértékelés

$$\frac{2x+3}{2x+1}$$

A gyors megoldás lépései

Szorzattá alakítjuk a(z) 1+x-2x^{2} kifejezést.

$$\frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x}{x-1}$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(-x+1\right)\left(2x+1\right) és x-1 legkisebb közös többszöröse \left(x-1\right)\left(2x+1\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)} és \frac{-1}{-1}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{x}{x-1} és \frac{2x+1}{2x+1}.

$$\frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Mivel \frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} és \frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\frac{3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Elvégezzük a képletben (3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\frac{\left(x-1\right)\left(2x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: x-1.

$$\frac{2x+3}{2x+1}$$

Differenciálás x szerint

$$-\frac{4}{\left(2x+1\right)^{2}}$$

Lépések a hányados deriváltjára vonatkozó szabály használatával

Szorzattá alakítjuk a(z) 1+x-2x^{2} kifejezést.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x}{x-1})$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(-x+1\right)\left(2x+1\right) és x-1 legkisebb közös többszöröse \left(x-1\right)\left(2x+1\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)} és \frac{-1}{-1}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{x}{x-1} és \frac{2x+1}{2x+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Mivel \frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} és \frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Elvégezzük a képletben (3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\left(x-1\right)\left(2x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: x-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+3}{2x+1})$$

Bármely két differenciálható függvény esetén a két függvény hányadosának deriváltja egyenlő a nevező szorozva a számláló deriváltjával mínusz a számláló szorozva a nevező deriváltjával, majd ez az eredmény osztva a nevező négyzetével.

$$\frac{\left(2x^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{1}+3)-\left(2x^{1}+3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{1}+1)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Egy polinom deriváltja a tagok deriváltjainak összege. Bármely konstans tag deriváltja 0. ax^{n} deriváltja nax^{n-1}.

$$\frac{\left(2x^{1}+1\right)\times 2x^{1-1}-\left(2x^{1}+3\right)\times 2x^{1-1}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Elvégezzük a számolást.

$$\frac{\left(2x^{1}+1\right)\times 2x^{0}-\left(2x^{1}+3\right)\times 2x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Felbontjuk a zárójelet a disztributivitás felhasználásával.

$$\frac{2x^{1}\times 2x^{0}+2x^{0}-\left(2x^{1}\times 2x^{0}+3\times 2x^{0}\right)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Azonos alapú hatványok szorzásához összeadjuk a kitevőjüket.

$$\frac{2\times 2x^{1}+2x^{0}-\left(2\times 2x^{1}+3\times 2x^{0}\right)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Elvégezzük a számolást.

$$\frac{4x^{1}+2x^{0}-\left(4x^{1}+6x^{0}\right)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Megszüntetjük a felesleges zárójeleket.

$$\frac{4x^{1}+2x^{0}-4x^{1}-6x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Összevonjuk az egynemű kifejezéseket.

$$\frac{\left(4-4\right)x^{1}+\left(2-6\right)x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

4 kivonása ebből: 4, valamint 6 kivonása ebből: 2.

$$\frac{-4x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Minden t tagra, t^{1}=t.

$$\frac{-4x^{0}}{\left(2x+1\right)^{2}}$$

Az 0 kivételével minden t tagra, t^{0}=1.

$$\frac{-4}{\left(2x+1\right)^{2}}$$