frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b} megoldása

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Megoldás a(z) b változóra

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Gyökös egyenletek megoldásának lépései

Gyöktelenítjük a tört (\frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}) nevezőjét úgy, hogy megszorozzuk a számlálót és a nevezőt ennyivel: 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Vegyük a következőt: \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2. Négyzetre emeljük a következőt: \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kivonjuk a(z) 5 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2+\sqrt{5} és 2+\sqrt{5}. Az eredmény \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}).

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5} négyzete 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 5. Az eredmény 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Ha elosztunk egy értéket mínusz 1-gyel, akkor az érték ellentettjét kapjuk. 9+4\sqrt{5} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Gyöktelenítjük a tört (\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}) nevezőjét úgy, hogy megszorozzuk a számlálót és a nevezőt ennyivel: 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Vegyük a következőt: \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2. Négyzetre emeljük a következőt: \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Kivonjuk a(z) 5 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2-\sqrt{5} és 2-\sqrt{5}. Az eredmény \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}).

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5} négyzete 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 5. Az eredmény 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Ha elosztunk egy értéket mínusz 1-gyel, akkor az érték ellentettjét kapjuk. 9-4\sqrt{5} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Kivonjuk a(z) 9 értékből a(z) -9 értéket. Az eredmény -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Összevonjuk a következőket: -4\sqrt{5} és 4\sqrt{5}. Az eredmény 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: a.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Megoldás a(z) a változóra (complex solution)

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

Megoldás a(z) b változóra (complex solution)

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$arg(\frac{-a-18}{5})<\pi \text{ or }a=-18$$

Megoldás a(z) a változóra

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$