2/x-3+3/x-2=3 megoldása

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 2,3. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-3,x-2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-3\right)\left(x-2\right).

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-2 és 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-3 és 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Összevonjuk a következőket: 2x és 3x. Az eredmény 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kivonjuk a(z) 9 értékből a(z) -4 értéket. Az eredmény -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3 és x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-9 és x-2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{2}.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 15x.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Összevonjuk a következőket: 5x és 15x. Az eredmény 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 18.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Kivonjuk a(z) 18 értékből a(z) -13 értéket. Az eredmény -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) 20 értéket b-be és a(z) -31 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -20 és 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

-20+2\sqrt{7} elosztása a következővel: -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}). ± előjele negatív. 2\sqrt{7} kivonása a következőből: -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

-20-2\sqrt{7} elosztása a következővel: -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: 2,3. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-3,x-2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-3\right)\left(x-2\right).

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-2 és 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x-3 és 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Összevonjuk a következőket: 2x és 3x. Az eredmény 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kivonjuk a(z) 9 értékből a(z) -4 értéket. Az eredmény -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3 és x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-9 és x-2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{2}.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 15x.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Összevonjuk a következőket: 5x és 15x. Az eredmény 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 13.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Összeadjuk a következőket: 18 és 13. Az eredmény 31.

$$20x-3x^{2}=31$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

20 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

31 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{20}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{10}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{10}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{10}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

-\frac{31}{3} és \frac{100}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{10}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$