2/x=4x+7/5x^2+1 megoldása

$$\frac{ 2 }{ x } = \frac{ 4x+7 }{ 5 { x }^{ 2 } +1 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A változó (x) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,5x^{2}+1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x\left(5x^{2}+1\right).

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5x^{2}+1 és 2.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és 4x+7.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4x^{2}.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Összevonjuk a következőket: 10x^{2} és -4x^{2}. Az eredmény 6x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 7x.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$6x^{2}-7x+2=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 6x^{2}+ax+bx+2 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-7 ab=6\times 2=12$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-4 b=-3$$

Átírjuk az értéket (6x^{2}-7x+2) \left(6x^{2}-4x\right)+\left(-3x+2\right) alakban.

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(-3x+2\right)$$

Kiemeljük a(z) 2x tényezőt az első, a(z) -1 tényezőt pedig a második csoportban.

$$2x\left(3x-2\right)-\left(3x-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-2\right)\left(2x-1\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 3x-2=0 és 2x-1=0.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,5x^{2}+1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x\left(5x^{2}+1\right).

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5x^{2}+1 és 2.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és 4x+7.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4x^{2}.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Összevonjuk a következőket: 10x^{2} és -4x^{2}. Az eredmény 6x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 7x.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}-7x+2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) 2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 6}$$

-7 ellentettje 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{7±1}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±1}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és 1.

$$x=\frac{8}{12}$$

A törtet (\frac{8}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{2}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±1}{12}). ± előjele negatív. 1 kivonása a következőből: 7.

$$x=\frac{6}{12}$$

A törtet (\frac{6}{12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x,5x^{2}+1 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: x\left(5x^{2}+1\right).

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5x^{2}+1 és 2.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és 4x+7.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4x^{2}.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Összevonjuk a következőket: 10x^{2} és -4x^{2}. Az eredmény 6x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 7x.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$6x^{2}-7x=-2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

A törtet (\frac{-2}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{12}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

-\frac{1}{3} és \frac{49}{144} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

A(z) x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{12}.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$