1/6(4x+5)-2/3(2x+7)=3 megoldása

$$\frac{ 1 }{ 6 } (4x+5) \frac{ -2 }{ 3 } (2x+7)=3$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}\approx -2,375+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}\approx -2,375-1,452368755i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A(z) \frac{-2}{3} tört felírható -\frac{2}{3} alakban is, ha töröljük a mínuszjelet.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{6} és -\frac{2}{3}. Az eredmény -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{9} és 4x+5.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} és 2x+7), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-3=0$$

Kivonjuk a(z) 3 értékből a(z) -\frac{35}{9} értéket. Az eredmény -\frac{62}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{62}{9}=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -\frac{8}{9} értéket a-ba, a(z) -\frac{38}{9} értéket b-be és a(z) -\frac{62}{9} értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

A(z) -\frac{38}{9} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{32}{9} és -\frac{62}{9}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1984}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

\frac{1444}{81} és -\frac{1984}{81} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{20}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -\frac{20}{3}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

-\frac{38}{9} ellentettje \frac{38}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: \frac{38}{9} és \frac{2i\sqrt{15}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

\frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} elosztása a következővel: -\frac{16}{9}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} értéket megszorozzuk a(z) -\frac{16}{9} reciprokával.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}). ± előjele negatív. \frac{2i\sqrt{15}}{3} kivonása a következőből: \frac{38}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

\frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} elosztása a következővel: -\frac{16}{9}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} értéket megszorozzuk a(z) -\frac{16}{9} reciprokával.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A(z) \frac{-2}{3} tört felírható -\frac{2}{3} alakban is, ha töröljük a mínuszjelet.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{6} és -\frac{2}{3}. Az eredmény -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{9} és 4x+5.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} és 2x+7), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: \frac{35}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=3+\frac{35}{9}$$

Összeadjuk a következőket: 3 és \frac{35}{9}. Az eredmény \frac{62}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{62}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: -\frac{8}{9}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

A(z) -\frac{8}{9} értékkel való osztás eltünteti a(z) -\frac{8}{9} értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

-\frac{38}{9} elosztása a következővel: -\frac{8}{9}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -\frac{38}{9} értéket megszorozzuk a(z) -\frac{8}{9} reciprokával.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

\frac{62}{9} elosztása a következővel: -\frac{8}{9}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) \frac{62}{9} értéket megszorozzuk a(z) -\frac{8}{9} reciprokával.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{31}{4}$$

Elosztjuk a(z) \frac{19}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{19}{8}. Ezután hozzáadjuk \frac{19}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{31}{4}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

A(z) \frac{19}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{31}{4}+\frac{361}{64}$$

-\frac{31}{4} és \frac{361}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{135}{64}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{19}{8}.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$