x/x-1=3x+1/x-1 megoldása

$$\frac { x } { x - 1 } = 3 x + \frac { 1 } { x - 1 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet 1, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: x-1.

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3x és x-1.

$$x=3x^{2}-3x+1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{2}.

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3x.

$$x-3x^{2}+3x=1$$

Összevonjuk a következőket: x és 3x. Az eredmény 4x.

$$4x-3x^{2}=1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$4x-3x^{2}-1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$x=\frac{-4±2}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±2}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 2.

$$x=-\frac{2}{-6}$$

A törtet (\frac{-2}{-6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±2}{-6}). ± előjele negatív. 2 kivonása a következőből: -4.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

-6 elosztása a következővel: -6.

$$x=1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

A változó (x) értéke nem lehet 1.

$$x=\frac{1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet 1, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: x-1.

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3x és x-1.

$$x=3x^{2}-3x+1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{2}.

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3x.

$$x-3x^{2}+3x=1$$

Összevonjuk a következőket: x és 3x. Az eredmény 4x.

$$4x-3x^{2}=1$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-3x^{2}+4x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

4 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{1}{-3}$$

1 elosztása a következővel: -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{4}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{2}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{2}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{2}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

-\frac{1}{3} és \frac{4}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{2}{3}.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

A változó (x) értéke nem lehet 1.

$$x=\frac{1}{3}$$