x/7+y/3=5;-x/14+3y=26 megoldása

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=14$$

$$y=9$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 7,3 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 21.

$$3x+7y=105$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 14.

$$-x+42y=364$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$3x+7y=105$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 7y.

$$3x=-7y+105$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3} és -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Behelyettesítjük a(z) -\frac{7y}{3}+35 értéket x helyére a másik, -x+42y=364 egyenletben.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Összeszorozzuk a következőket: -1 és -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Összeadjuk a következőket: \frac{7y}{3} és 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 35.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{133}{3}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=9$$

A(z) x=-\frac{7}{3}y+35 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 9. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{7}{3} és 9.

$$x=-21+35$$

Összeadjuk a következőket: 35 és -21.

$$x=14$$

A rendszer megoldva.

$$x=14,y=9$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 7,3 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 21.

$$3x+7y=105$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 14.

$$-x+42y=364$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=14,y=9$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 7,3 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 21.

$$3x+7y=105$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 14.

$$-x+42y=364$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

3x és -x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: -1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Egyszerűsítünk.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

-3x+126y=1092 kivonása a következőből: -3x-7y=-105: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Összeadjuk a következőket: -3x és 3x. -3x és 3x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Összeadjuk a következőket: -7y és -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Összeadjuk a következőket: -105 és -1092.

$$-133y=-1197$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -133.

$$y=9$$

A(z) -x+42y=364 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 9. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$-x+42\times 9=364$$

Összeszorozzuk a következőket: 42 és 9.

$$-x+378=364$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 378.

$$-x=-14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$x=14$$

A rendszer megoldva.

$$x=14,y=9$$