x/5=y/4;y/3=x/3-1 megoldása

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=15$$

$$y=12$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 5,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 20.

$$4x=5y$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{5y}{4} értéket x helyére a másik, -x+y=-3 egyenletben.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{5y}{4} és y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: -4.

$$y=12$$

A(z) x=\frac{5}{4}y egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 12. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{5}{4} és 12.

$$x=15$$

A rendszer megoldva.

$$x=15,y=12$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 5,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 20.

$$4x=5y$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5y.

$$4x-5y=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 3.

$$y=x-3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$y-x=-3$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=15,y=12$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 5,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 20.

$$4x=5y$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5y.

$$4x-5y=0$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 3.

$$y=x-3$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$y-x=-3$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

4x és -x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: -1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

-4x+4y=-12 kivonása a következőből: -4x+5y=0: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Összeadjuk a következőket: -4x és 4x. -4x és 4x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$5y-4y=12$$

Összeadjuk a következőket: 5y és -4y.

$$y=12$$

A(z) -x+y=-3 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 12. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$-x+12=-3$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 12.

$$-x=-15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$x=15$$

A rendszer megoldva.

$$x=15,y=12$$