x^5/x^4-1 megoldása

$$\frac { x ^ { 5 } } { x ^ { 4 } - 1 }$$

Differenciálás x szerint

$$\frac{x^{4}\left(x^{4}-5\right)}{\left(x^{4}-1\right)^{2}}$$

Lépések a hányados deriváltjára vonatkozó szabály használatával

Bármely két differenciálható függvény esetén a két függvény hányadosának deriváltja egyenlő a nevező szorozva a számláló deriváltjával mínusz a számláló szorozva a nevező deriváltjával, majd ez az eredmény osztva a nevező négyzetével.

$$\frac{\left(x^{4}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{5})-x^{5}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{4}-1)}{\left(x^{4}-1\right)^{2}}$$

Egy polinom deriváltja a tagok deriváltjainak összege. Bármely konstans tag deriváltja 0. ax^{n} deriváltja nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{4}-1\right)\times 5x^{5-1}-x^{5}\times 4x^{4-1}}{\left(x^{4}-1\right)^{2}}$$

Elvégezzük a számolást.

$$\frac{\left(x^{4}-1\right)\times 5x^{4}-x^{5}\times 4x^{3}}{\left(x^{4}-1\right)^{2}}$$

Felbontjuk a zárójelet a disztributivitás felhasználásával.

$$\frac{x^{4}\times 5x^{4}-5x^{4}-x^{5}\times 4x^{3}}{\left(x^{4}-1\right)^{2}}$$

Azonos alapú hatványok szorzásához összeadjuk a kitevőjüket.

$$\frac{5x^{4+4}-5x^{4}-4x^{5+3}}{\left(x^{4}-1\right)^{2}}$$

Elvégezzük a számolást.

$$\frac{5x^{8}-5x^{4}-4x^{8}}{\left(x^{4}-1\right)^{2}}$$

Összevonjuk az egynemű kifejezéseket.

$$\frac{\left(5-4\right)x^{8}-5x^{4}}{\left(x^{4}-1\right)^{2}}$$

4 kivonása a következőből: 5.

$$\frac{x^{8}-5x^{4}}{\left(x^{4}-1\right)^{2}}$$

Kiemeljük a következőt: x^{4}.

$$\frac{x^{4}\left(x^{4}-5x^{0}\right)}{\left(x^{4}-1\right)^{2}}$$

Az 0 kivételével minden t tagra, t^{0}=1.

$$\frac{x^{4}\left(x^{4}-5\right)}{\left(x^{4}-1\right)^{2}}$$

Kiértékelés

$$\frac{x^{5}}{x^{4}-1}$$