x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0 megoldása

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

-4 ellentettje 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4 és 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

4+2\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{5} kivonása a következőből: 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

4-2\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 1. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$x^{2}-4x=1$$

Elosztjuk a(z) -4 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -2. Ezután hozzáadjuk -2 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Tényezőkre x^{2}-4x+4. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$