x^2/9-4/3x=-2 megoldása

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10,242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1,757359313$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -2 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

-2 kivonása a következőből: 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) \frac{1}{9} értéket a-ba, a(z) -\frac{4}{3} értéket b-be és a(z) 2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

A(z) -\frac{4}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{4}{9} és 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

\frac{16}{9} és -\frac{8}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

-\frac{4}{3} ellentettje \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: \frac{4}{3} és \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

\frac{4+2\sqrt{2}}{3} elosztása a következővel: \frac{2}{9}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) \frac{4+2\sqrt{2}}{3} értéket megszorozzuk a(z) \frac{2}{9} reciprokával.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}). ± előjele negatív. \frac{2\sqrt{2}}{3} kivonása a következőből: \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

\frac{4-2\sqrt{2}}{3} elosztása a következővel: \frac{2}{9}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) \frac{4-2\sqrt{2}}{3} értéket megszorozzuk a(z) \frac{2}{9} reciprokával.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

A(z) \frac{1}{9} értékkel való osztás eltünteti a(z) \frac{1}{9} értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

-\frac{4}{3} elosztása a következővel: \frac{1}{9}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -\frac{4}{3} értéket megszorozzuk a(z) \frac{1}{9} reciprokával.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

-2 elosztása a következővel: \frac{1}{9}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -2 értéket megszorozzuk a(z) \frac{1}{9} reciprokával.

$$x^{2}-12x=-18$$

Elosztjuk a(z) -12 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -6. Ezután hozzáadjuk -6 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -6.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Összeadjuk a következőket: -18 és 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Tényezőkre x^{2}-12x+36. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 6.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$