x^2+6x-7/3x^2-x-2=5 megoldása

$$\frac { x ^ { 2 } + 6 x - 7 } { 3 x ^ { 2 } - x - 2 } = 5$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -\frac{2}{3},1. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5 és x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (5x-5 és 3x+2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 15x^{2}.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -15x^{2}. Az eredmény -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 5x.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Összevonjuk a következőket: 6x és 5x. Az eredmény 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 10.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

Összeadjuk a következőket: -7 és 10. Az eredmény 3.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -14x^{2}+ax+bx+3 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=11 ab=-14\times 3=-42$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 11.

$$a=14 b=-3$$

Átírjuk az értéket (-14x^{2}+11x+3) \left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right) alakban.

$$\left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right)$$

A 14x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$14x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) -x+1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(-x+1\right)\left(14x+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a -x+1=0 és a 14x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

A változó (x) értéke nem lehet 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -\frac{2}{3},1. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5 és x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (5x-5 és 3x+2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 15x^{2}.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -15x^{2}. Az eredmény -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 5x.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Összevonjuk a következőket: 6x és 5x. Az eredmény 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 10.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

Összeadjuk a következőket: -7 és 10. Az eredmény 3.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -14 értéket a-ba, a(z) 11 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -14.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+56\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 56 és 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\left(-14\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\left(-14\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\left(-14\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -14.

$$x=\frac{-11±17}{-28}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-11±17}{-28}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -11 és 17.

$$x=\frac{6}{-28}$$

A törtet (\frac{6}{-28}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-11±17}{-28}). ± előjele negatív. 17 kivonása a következőből: -11.

$$x=-\frac{28}{-28}$$

-28 elosztása a következővel: -28.

$$x=1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{3}{14} x=1$$

A változó (x) értéke nem lehet 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -\frac{2}{3},1. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5 és x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (5x-5 és 3x+2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 15x^{2}.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -15x^{2}. Az eredmény -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 5x.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Összevonjuk a következőket: 6x és 5x. Az eredmény 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 7.

$$-14x^{2}+11x=-10+7$$

Összeadjuk a következőket: -10 és 7. Az eredmény -3.

$$-14x^{2}+11x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -14.

$$\frac{-14x^{2}+11x}{-14}=-\frac{3}{-14}$$

A(z) -14 értékkel való osztás eltünteti a(z) -14 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{11}{-14}x=-\frac{3}{-14}$$

11 elosztása a következővel: -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=-\frac{3}{-14}$$

-3 elosztása a következővel: -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=\frac{3}{14}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{11}{14} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{28}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{28} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{28} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{3}{14}+\frac{121}{784}$$

\frac{3}{14} és \frac{121}{784} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{289}{784}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{289}{784}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{784}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{11}{28}=\frac{17}{28} x-\frac{11}{28}=-\frac{17}{28}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{28}.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

A változó (x) értéke nem lehet 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$