x+1/2+y-1/3=9quadtext{sert}quadx-1/3+y+1/2=8 megoldása

$$\frac { x + 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 \quad \text { sert } \quad \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=13$$

$$y=7$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=9,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=9$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és x+1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=9$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3} és y-1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=9$$

\frac{1}{2} és -\frac{1}{3} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=9$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{6}.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{53}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{y}{3}.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+\frac{53}{6}$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 2.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{53}{6}\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -\frac{y}{3}+\frac{53}{6}.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{53}{3}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{-2y+53}{3} értéket x helyére a másik, \frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8 egyenletben.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{53}{3}-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Összeadjuk a következőket: \frac{53}{3} és -1.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{50}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3} és \frac{-2y+50}{3}.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{50}{9}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és y+1.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{50}{9}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=8$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{2y}{9} és \frac{y}{2}.

$$\frac{5}{18}y+\frac{50}{9}+\frac{1}{2}=8$$

\frac{50}{9} és \frac{1}{2} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$\frac{5}{18}y+\frac{109}{18}=8$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{109}{18}.

$$\frac{5}{18}y=\frac{35}{18}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{5}{18}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=7$$

A(z) x=-\frac{2}{3}y+\frac{53}{3} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 7. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{53}{3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{2}{3} és 7.

$$x=\frac{-14+53}{3}$$

\frac{53}{3} és -\frac{14}{3} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=13$$

A rendszer megoldva.

$$x=13,y=7$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=9,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Az első egyenletet egyszerűsítéssel kanonikus alakra hozzuk.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=9$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és x+1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=9$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3} és y-1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=9$$

\frac{1}{2} és -\frac{1}{3} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=9$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{6}.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{53}{6}$$

A második egyenletet egyszerűsítéssel kanonikus alakra hozzuk.

$$\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3} és x-1.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{2} és y+1.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=8$$

-\frac{1}{3} és \frac{1}{2} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}=8$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{6}.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{47}{6}$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}&-\frac{12}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{18}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\times \frac{53}{6}-\frac{12}{5}\times \frac{47}{6}\\-\frac{12}{5}\times \frac{53}{6}+\frac{18}{5}\times \frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=13,y=7$$