v/v+1+3/v-1-6/v^2-1 megoldása

$$\frac { v } { v + 1 } + \frac { 3 } { v - 1 } - \frac { 6 } { v ^ { 2 } - 1 }$$

Kiértékelés

$$\frac{v+3}{v+1}$$

A gyors megoldás lépései

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. v+1 és v-1 legkisebb közös többszöröse \left(v-1\right)\left(v+1\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{v}{v+1} és \frac{v-1}{v-1}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{v-1} és \frac{v+1}{v+1}.

$$\frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}+\frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

Mivel \frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} és \frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\frac{v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

Elvégezzük a képletben (v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{v^{2}-v+3v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

Összevonjuk a kifejezésben (v^{2}-v+3v+3) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

Szorzattá alakítjuk a(z) v^{2}-1 kifejezést.

$$\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

Mivel \frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} és \frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{v^{2}+2v+3-6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

Összevonjuk a kifejezésben (v^{2}+2v+3-6) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\frac{\left(v-1\right)\left(v+3\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: v-1.

$$\frac{v+3}{v+1}$$

Differenciálás v szerint

$$-\frac{2}{\left(v+1\right)^{2}}$$

Lépések a hányados deriváltjára vonatkozó szabály használatával

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. v+1 és v-1 legkisebb közös többszöröse \left(v-1\right)\left(v+1\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{v}{v+1} és \frac{v-1}{v-1}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{3}{v-1} és \frac{v+1}{v+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}+\frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

Mivel \frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} és \frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

Elvégezzük a képletben (v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}-v+3v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

Összevonjuk a kifejezésben (v^{2}-v+3v+3) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

Szorzattá alakítjuk a(z) v^{2}-1 kifejezést.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

Mivel \frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} és \frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v+3-6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

Összevonjuk a kifejezésben (v^{2}+2v+3-6) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{\left(v-1\right)\left(v+3\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: v-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v+3}{v+1})$$

Bármely két differenciálható függvény esetén a két függvény hányadosának deriváltja egyenlő a nevező szorozva a számláló deriváltjával mínusz a számláló szorozva a nevező deriváltjával, majd ez az eredmény osztva a nevező négyzetével.

$$\frac{\left(v^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}+3)-\left(v^{1}+3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}+1)}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Egy polinom deriváltja a tagok deriváltjainak összege. Bármely konstans tag deriváltja 0. ax^{n} deriváltja nax^{n-1}.

$$\frac{\left(v^{1}+1\right)v^{1-1}-\left(v^{1}+3\right)v^{1-1}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Elvégezzük a számolást.

$$\frac{\left(v^{1}+1\right)v^{0}-\left(v^{1}+3\right)v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Felbontjuk a zárójelet a disztributivitás felhasználásával.

$$\frac{v^{1}v^{0}+v^{0}-\left(v^{1}v^{0}+3v^{0}\right)}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Azonos alapú hatványok szorzásához összeadjuk a kitevőjüket.

$$\frac{v^{1}+v^{0}-\left(v^{1}+3v^{0}\right)}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Megszüntetjük a felesleges zárójeleket.

$$\frac{v^{1}+v^{0}-v^{1}-3v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Összevonjuk az egynemű kifejezéseket.

$$\frac{\left(1-1\right)v^{1}+\left(1-3\right)v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

1 kivonása ebből: 1, valamint 3 kivonása ebből: 1.

$$\frac{-2v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

Minden t tagra, t^{1}=t.

$$\frac{-2v^{0}}{\left(v+1\right)^{2}}$$

Az 0 kivételével minden t tagra, t^{0}=1.

$$\frac{-2}{\left(v+1\right)^{2}}$$